Módulo I: Treino Intensivo de Matemática
Resolver problemas de forma ativa é o método mais comprovado para obter pontuação máxima na Prova Específica de Matemática. Analise os exercícios com solução interativa abaixo:
1.1 Lógica Proposicional, Tabelas de Verdade e Conjuntos
Exercício 1.1 — Simplificação Proposicional (De Morgan)
Resolvido
Problema: Simplifique a proposição lógica utilizando as regras de De Morgan e absorção:
¬(P ∧ Q) ∨ (P ∧ ¬Q).
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1. Aplicação da Lei de De Morgan ao primeiro termo: ¬(P ∧ Q) ≡ ¬P ∨ ¬Q.
2. Reescrevendo: (¬P ∨ ¬Q) ∨ (P ∧ ¬Q).
3. Agrupando por distributividade: ¬P ∨ [¬Q ∨ (P ∧ ¬Q)].
4. Pela lei da absorção, ¬Q ∨ (P ∧ ¬Q) ≡ ¬Q.
Resultado Final: ¬P ∨ ¬Q (equivalente a ¬(P ∧ Q)).
Exercício 1.2 — Contagem e Inclusão-Exclusão (3 Conjuntos)
Resolvido
Problema: Numa pesquisa com 200 estudantes da FCT-USTP, 110 estudam C++, 90 estudam Python e 70 estudam Java. Sabendo que 45 estudam C++ e Python, 35 estudam Python e Java, 30 estudam C++ e Java, e 15 estudam as três linguagens, quantos estudantes não estudam nenhuma destas linguagens?
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1. Fórmula de Inclusão-Exclusão para 3 conjuntos:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
2. Substituindo os valores:
|A ∪ B ∪ C| = 110 + 90 + 70 − 45 − 35 − 30 + 15 = 175.
3. Estudantes que não estudam nenhuma:
|U| − 175 = 200 − 175 = 25.
Resposta: 25 estudantes.
1.2 Polinómios, Fatorização e Briot-Ruffini
Exercício 1.3 — Divisão por Briot-Ruffini de Grau 4
Resolvido
Problema: Determine o valor da constante
m para que o polinómio
P(x) = 2x⁴ − 3x² + mx − 5 seja divisível por
(x + 1).
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1. Pelo Teorema do Resto, para ser divisível por
(x + 1), exige-se
P(−1) = 0.
2. Substituindo
x = −1:
P(−1) = 2(−1)⁴ − 3(−1)² + m(−1) − 5 = 0
2(1) − 3(1) − m − 5 = 0 ⇒ 2 − 3 − m − 5 = 0 ⇒ −6 − m = 0 ⇒ m = −6.
Resposta: m = −6.
1.3 Sucessões, PA e PG
Exercício 1.4 — Soma de Progressão Geométrica Infinita
Resolvido
Problema: Calcule a soma da série geométrica infinita:
S = 18 + 6 + 2 + 2/3 + ...
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1. Primeiro termo
a₁ = 18, razão
q = 6 / 18 = 1/3.
2. Como
|q| = 1/3 < 1, a série converge:
S∞ = a₁ / (1 − q) = 18 / (1 − 1/3) = 18 / (2/3) = 27
Resposta: A soma é 27.
1.4 Cálculo Diferencial: Limites e Derivadas
Exercício 1.5 — Limite Indeterminado (0/0) com Radicais
Resolvido
Problema: Calcule o limite:
limx → 0 [√(1 + 5x) − 1] / x.
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1. Substituição direta:
0 / 0 (Indeterminação).
2. Multiplicar e dividir pelo conjugado do numerador
√(1 + 5x) + 1:
limx → 0 { [√(1 + 5x) − 1][√(1 + 5x) + 1] } / { x [√(1 + 5x) + 1] }
= limx → 0 (1 + 5x − 1) / { x [√(1 + 5x) + 1] } = limx → 0 5x / { x [√(1 + 5x) + 1] }
3. Simplificando
x:
limx → 0 5 / [√(1 + 5x) + 1] = 5 / (1 + 1) = 5/2.
Resposta: 5/2 (ou 2,5).
Módulo II: Treino Intensivo de Física
2.1 Cinemática e Dinâmica do Plano Inclinado
Exercício 2.1 — Aceleração em Plano Inclinado com Atrito
Resolvido
Problema: Um bloco de massa
m = 4 kg desliza por um plano inclinado de
30° com coeficiente de atrito
μ = 0,2. Assumindo
g = 10 m/s², determine a aceleração do bloco.
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1. Componente paralela ao plano: Px = m g sen(30°) = 4 × 10 × 0,5 = 20 N.
2. Normal: N = m g cos(30°) = 4 × 10 × 0,866 = 34,64 N.
3. Força de atrito: fa = μ N = 0,2 × 34,64 = 6,93 N.
4. Segunda Lei de Newton: Fres = Px − fa = m a ⇒ 20 − 6,93 = 4a ⇒ 13,07 = 4a ⇒ a ≈ 3,27 m/s².
Resposta: a ≈ 3,27 m/s².
2.2 Oscilações e Ondas (MHS)
Exercício 2.2 — Período e Velocidade de Propagação Ondulatória
Resolvido
Problema: Um corpo de massa
m = 0,2 kg ligado a uma mola de constante
k = 80 N/m oscila em MHS. Determine o período de oscilação
T. Se esta oscilação gerar uma onda mecânica com comprimento de onda
λ = 0,5 m, determine a velocidade de propagação da onda.
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1. Período do MHS:
T = 2π √(m / k) = 2π √(0,2 / 80) = 2π √(0,0025) = 2π × 0,05 = 0,1π ≈ 0,314 s
2. Frequência
f = 1 / T = 1 / 0,314 ≈ 3,18 Hz.
3. Velocidade de propagação da onda:
v = λ · f = 0,5 × 3,18 ≈ 1,59 m/s
Resposta: Período
T ≈ 0,314 s; Velocidade
v ≈ 1,59 m/s.
2.3 Eletricidade e Leis de Kirchhoff
Exercício 2.3 — Leis de Kirchhoff para Nós e Malhas
Resolvido
Problema: Uma fonte de
U = 24 V alimenta um resistor
R₁ = 4 Ω em série com a associação em paralelo de
R₂ = 12 Ω e
R₃ = 12 Ω. Calcule a corrente total e a potência dissipada em
R₁.
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1. Paralelo R₂₃ = (12 × 12) / (12 + 12) = 6 Ω.
2. Resistência Total Req = 4 + 6 = 10 Ω.
3. Corrente Total I = 24 V / 10 Ω = 2,4 A.
4. Potência em R₁: P = R₁ I² = 4 × (2,4)² = 4 × 5,76 = 23,04 W.
Resposta: Corrente total = 2,4 A; Potência em R₁ = 23,04 W.
Módulo III: Língua Portuguesa & Propostas de Redação
Proposta de Redação A — Tema Tecnológico USTP
Tema: "O papel das Tecnologias de Informação no desenvolvimento socioeconómico e no combate ao desemprego jovem em São Tomé e Príncipe."
Diretrizes de Escrita: Redija um texto dissertativo-argumentativo de 20 a 25 linhas estruturado em Introdução (tese), Desenvolvimento I (infraestrutura e formação), Desenvolvimento II (desafios e oportunidades) e Conclusão (síntese e proposta).
Proposta de Redação B — Desafios da Inteligência Artificial
Tema: "Inteligência Artificial e Ética: Como garantir a proteção de dados e a soberania digital nas nações em desenvolvimento?"
Diretrizes de Escrita: Elabore um ensaio argumentativo com rigor formal e conectores discursivos adequados.